TL;DR

기존의 상수 함수 시장 조성자(CFMM)는 예측 시장과 같은 애플리케이션에 적합하지 않습니다. 시간에 독립적이기 때문에 예측 시장에 필요한 유동성 분배 조정과 유동성 공급자 보호 기능이 없습니다.

이 백서에서는 만기에 가까워질수록 유동성을 '에지'로 분산시키는 YieldSpace와 유사한 형태의 시간 의존적 AMM을 소개합니다. 이는 유동성 공급자를 보호하기 위해 언제든지 최소한의 예/아니오 주식을 확보할 수 있도록 합니다.

우리는 이를 확률 공간이라고 부릅니다.

수익률스페이스는 준비금 비율에 따라 일정한 이자율을 책정하는 것을 목표로 하는 반면, 확률스페이스는 기본 변동성과 확률적 프로세스의 시간으로 예와 아니오의 확률을 책정하려고 합니다.

1. AMM 도출

만기가 가까워질수록 AMM이 유동성을 100% 예와 100% 아니오로 분산시키기를 원합니다.

여기서는 예/아니오 주식 보유 비율의 자연 로그가 정규 분포를 따르기 때문에 바이너리 옵션을 따를 예/아니오 확률을 선택합니다.

예와 아니오 확률은 시간이 지남에 따라 증가하거나 감소해야 합니다.

아니요 확률은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

여기서 N(d )는 정규 분포 N(0,1)의 CDF입니다.

첫 번째 방정식을 다음과 같이 다시 작성할 수도 있습니다:

즉, '아니오'와 '예'의 확률 비율로 만기에 가까워질수록 가격이 무한대로 증가하거나 0으로 감소합니다.

이 백서의 근사 공식을 사용하면 1변수 및 2변수 근사를 수행하여 미분 방정식을 해석적 해법으로 더 쉽게 풀 수 있습니다.

단일 매개변수 근사치

N(d)를 다음과 같이 근사화합니다:

일반성을 잃지 않고

그런 다음

따라서 시간 t

두 매개변수 근사치

N(d)를 다음과 같이 근사화합니다:

일반성을 잃지 않고

그런 다음

2차 근사는 풀기 어려운 미분 방정식을 생성합니다. 따라서 이 글의 나머지 부분에서는 한 매개변수 근사치를 사용합니다.

우리가 도착한 AMM:

는 t가 1/sqrt(t)로 대체된다는 점을 제외하면 YieldSpace와 매우 유사합니다.

2. 유동성 지문

가격 틱에 대한 유동성을 측정하는 이 글의 기법을 사용하여 유동성 분포의 변화를 분석할 수 있습니다.

AMM의 한계 가격은 다음과 같습니다:

y는 P의 함수로 표현할 수 있습니다:

P는 틱으로 표현할 수 있습니다:

따라서

데스모스 링크: https://www.desmos.com/calculator/xozkru6lwz

데스모스 그림에서 볼 수 있듯이, 만기가 0이 될 때까지 시간이 지남에 따라 AMM은 의도한 대로 유동성을 100% 예와 100% 아니오로 분산시킵니다.

3. 상수가 아닌 s

위의 계산은 시간이 지나도 s가 일정하게 유지된다고 가정했습니다.

s stays constant only if x and y stays at s.

예를 들어, x = 2, y = 1입니다:

t = 0.5에서 s = ~1.38

t = 0.25에서 s = ~1.33

따라서 여기서는 s가 일정하지 않을 때 AMM의 진화에 대해 설명합니다.

구체적으로, t = t0에서 x의 한계 가격을 P0으로, t = t0에서 s 값을 s0으로 정의합니다.

위의 두 공식을 사용하여 x0과 y0을 풀 수 있습니다:

Assume when t < t0, x = x0, y = y0.

그러면 s를 t의 함수로 표현할 수 있습니다:

x0과 y0을 연결하고 s를 풉니다:

다음 방정식에 s를 대입합니다:

데스모스 링크: https://www.desmos.com/calculator/6j6hpobjph

만기가 가까워질수록 AMM은 평평해지며, 이는 LP 보호를 위해 어떤 일이 있어도 최소 예/아니오 주식이 있음을 의미합니다.

4. xmin 및 ymin

xmin및 ymin은AMM이 언제든지 허용하는 최소 예/아니오 주식 양을 나타냅니다.

Assume when t < t0, x = x0, y = y0.

t ＞= 1이면 xmin= ymin= 0입니다.

If t < 1,

교환할 수 있는 최대 주식 수량입니다:

t = 0에서,

AMM이(x0,y0)을 통과하기 때문입니다.

5. 유동성 공급자 보호

유동성 공급자는 AMM의 설계된 시간 진화로 인해 보호됩니다:

• 만기가 가까워질수록 한계 가격은 더 악화됩니다.
• 교환할 수 없는 최소 예스 및 아니오 주식 수량이 있습니다.

Assume when t < t0, x = x0, y = y0.

보호됨

예인 경우,

아니요,

발산 손실(기하학적)

시간 t에 한계 가격을 P에서 Pk로 가져오는 거래가 발생한다고 가정해 보겠습니다.

따라서,

발산 손실(실질적)

시간 t에 한계 가격을 P에서 Pk로 가져오는 거래가 발생한다고 가정해 보겠습니다.

이번 거래는 t0 이후 첫 거래이자 만기까지 마지막 거래입니다.

예인 경우,

아니요,

데스모스 링크: https://www.desmos.com/calculator/t8e7bp3fw5

이 데스모스 그림은 t와 k에 대한 실제 발산 손실을 그래프로 보여줍니다. 실제 발산 손실은 만기에 가까워질수록 감소합니다.

6. 밸런서 무게 방식

위에서 도출한 AMM과 유사하게 진화하는 수학적으로 생성할 수 있는 대체 AMM이 있습니다.

밸런서에서,

따라서 만족스러운 가중치를 조정할 수 있습니다:

단일 매개변수 근사치

지수에 y/x를 일정하게 유지하면,

지수의 y/x가 변하는 경우,

We assume the AMM goes through (x0,y0) at t = t0, and when t < t0, x = x0, y = y0.

지수의 y/x가 변하는 두 번째 함수는 놀랍게도 다음과 매우 유사하게 작동합니다:

그러나 두 함수는 -dy/dx = (y/x) ^ (1/sqrt (t)) 관계를 만족하지 않습니다. 구체적으로 첫 번째 함수는(x0, y0)에서만 관계를 만족합니다.

데스모스 링크: https://www.desmos.com/calculator/yb27o12cxd

아이디어를 제안해 주신 Dan Robinson, 유용한 토론과 피드백을 제공해 주신 ayko2718, 0xKaden, Allan Niemerg, Vanessa Tso에게 감사의 말씀을 전합니다.

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